De constante hoekstelling:

De constante hoekstelling valt eigenlijk in drie delen uiteen:  we beginnen met het eerste deel :

(1) Gegeven een cirkel met middelpunt M , de punten C, A en P liggen op de cirkel zodat CP diameter is van de cirkel. Zie figuur.
Verder is Ð AMP =  Ð M₁  gelijk aan a° .  ( a is een willekeurig getal)

Nu luidt de Stelling:  Ð C = ½ a°.
Dus met andere woorden:  Ð ACP is de helft van de middelpunts-
hoek: Ð M₁ 

BEWIJS: De lijnstukken CM , AM  en MP zijn alledrie even lang
want ze zijn alle gelijk aan de straal van de cirkel.
D CMA is gelijkbenig met M als top.
Voor deze tophoek geldt :  Ð M₂ = 180° - a°.
De basishoeken van D CMA zijn  ÐC  en  ÐA1
en er geldt dus: ÐC  +  ÐA₁ +  Ð M₂ = 180° .....................(1)
De basishoeken zijn evengroot dus  ÐC  + ÐA₁  = 2ÐC .
Invullen in formule (1):  2ÐC  + 180° - a° = 180°  =>
2 ´ ÐC = a°    =>  ÐC = ½ a°.              [einde bewijs deel 1]

Nu het tweede deel:
Gegeven een cirkel met middelpunt M , de punten C, A en B liggen op de cirkel zodat M binnen de benen van hoek C ligt. Zie figuur 2 hiernaast
Verder is Ð AMB  gelijk aan a° .  ( a is een willekeurig getal)

Nu luidt de stelling opnieuw:  Ð C = ½ a°.
BEWIJS: Trek de middellijn CM deze snijdt de cirkel in een punt P
Nu kan je twee figuren zien : eentje boven de lijn CP en eentje onder
de lijn CP .
Als je naar het figuur boven CP kijkt dan krijg je dezelfde situatie
terug als die van het eerste deel van de stelling.
Stel ÐAMP = dº , dan is dus volgens het eerste deel van de stelling:
ÐACP = ½ dº
Als je naar het figuur onder CP kijkt dan krijg je ook dezelfde situatie
terug als die van het eerste deel van de stelling.
Stel ÐBMP = eº , dan is dus volgens het eerste deel van de stelling:
Ð BCP = ½ eº   
Aangezien  dº  + eº  = aº  en  Ð ACB  =½ dº +  ½ eº  volgt dat
Ð ACB =½aº . Voor Ð ACB  kunnen we gewoon Ð C schrijven:
Dus    Ð C = ½ a°                                        [einde bewijs deel 2]


Ga naar volgende blz